Question

18．已知集合M={f（x）|存在非零常數(shù)k，對(duì)定義域中的任意x，等式f（kx）=$\frac{k}{2}$+f（x）恒成立}．現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，則函數(shù)f（x）、g（x）分別與集合M的關(guān)系為f（x）∉M，g（x）∈M．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x）得出k=$\frac{ax}{ax-\frac{1}{2}}$，k的取值與x有關(guān)，不是常數(shù)，與假設(shè)矛盾，從而得出結(jié)論；
（2）由于當(dāng)log₂（kx）=$\frac{k}{2}$+log₂x成立時(shí)，等價(jià)于log₂k=$\frac{k}{2}$，此式顯然當(dāng)k=4時(shí)此式成立，可見(jiàn)，存在非零常數(shù)k=4，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x），從而得出答案．

解答 解：（1）假設(shè)f（x）∈M，即：存在k≠0，使f（kx）=$\frac{k}{2}$+f（x）⇒a（kx）+b=$\frac{k}{2}$+（ax+b）
⇒k=k=$\frac{ax}{ax-\frac{1}{2}}$⇒k的取值與x有關(guān)，不是常數(shù)，與假設(shè)矛盾
⇒f（x）不屬于集合M
（2）log₂（kx）=$\frac{k}{2}$+log₂x
⇒log₂k+log₂x=$\frac{k}{2}$+log₂x
⇒log₂k=$\frac{k}{2}$，
當(dāng)k=4時(shí)此式成立，
可見(jiàn)，存在非零常數(shù)k=4，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x）
∴g（x）∈M，
故答案為：f（x）∉M，g（x）∈M．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查元素與集合關(guān)系的判斷、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．