已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,{an}的前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)a1=1,且a3是a1和a9的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
3an-1
2n
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n;
(3)記f(n)=
Sn
(n+18)Sn+1
,試問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí),f(n)最大?并求出f(n)的最大值.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專(zhuān)題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用a3是a1和a9的等比中項(xiàng),求出等差數(shù)列{an}的公差,可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)利用錯(cuò)位相減法,求數(shù)列{
3an-1
2n
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n;
(3)利用基本不等式求f(n)的最大值.
解答: 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則
∵a3是a1和a9的等比中項(xiàng),
∴(1+2d)2=1×(1+8d)           …(2分)
∵d≠0,∴d=1
∴an=n;      …(4分)
(2)
3an-1
2n
=
3n-1
2n

∴Tn=2×
1
2
+5×(
1
2
)2+…+(3n-1)•(
1
2
)n
1
2
Tn=2×(
1
2
)2+5×(
1
2
)3+…+(3n-4)×(
1
2
)n+(3n-1)•(
1
2
)n+1
①-②得Tn=5-
3n+5
2n
,…(9分)
(3)由(1)可得an=n,Sn=
n(1+n)
2
                     …(10分)
∴f(n)=
Sn
(n+18)Sn+1
=
1
n+
36
n
+20
1
12+20
=
1
32
                       …(13分)
當(dāng)且僅當(dāng)n=
36
n
,即n=6時(shí),f(n)取得最大值
1
32
.    …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查不等式的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)
x3456
t2.5344.5
(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=
b
x+
a
;
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為92噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)據(jù):3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在研究色盲與性別的關(guān)系調(diào)查中,調(diào)查了男性480人,其中有38人患色盲,調(diào)查的520名女性中6人患色盲.
(1)根據(jù)以上的數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表;
(2)試問(wèn)有多大把握認(rèn)為色盲與性別有關(guān)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知圓M過(guò)兩點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PC、PD是圓M的兩條切線,C、D為切點(diǎn),求四邊形PCMD面積的最小值.
(3)若(x,y)在圓M上,求x2-2x+y2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為2,寬為
3
的矩形,俯視圖是一個(gè)正三角形,求這個(gè)幾何體的表面積和體積?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:
甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800
獲得相應(yīng)應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1
乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200
獲得相應(yīng)應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1
根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若M=
a2+1
a
(a∈R,a≠0),則M的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)y=2sin(2x-
π
3
)的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=
12
;
②若sin(2x1-
π
4
)=sin(2x2-
π
4
),則x1-x2=kπ,其中k∈Z;
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù);
④函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
2
,0)對(duì)稱(chēng).
以上四個(gè)命題中正確的有
 
(填寫(xiě)正確命題前面的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若盒子中有棋子15顆,其中黑子6顆,白子9顆,從中任取2顆,“都是黑子”的概率是
1
7
,“都是白子”的概率是
12
35
,則“恰好是不同色”的概率是
 

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