Question

設(shè)函數(shù)f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ（x＞0），n為正整數(shù)，a，b均為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0．
（Ⅰ）求a、b值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅲ）證明：對任意的x∈（0，+∞）都有nf（x）＜

1

e

．（e為自然對數(shù)的底）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用切線是曲線和切線的公共點，得到點的縱坐標和切線斜率，再利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)數(shù)求出參數(shù)；
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)值的正負，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值；
（Ⅲ）將原式變形后，通過換元，得到新函數(shù)，求出新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再通過導(dǎo)函數(shù)研究其極值，證出本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵點（1，f（1））在切線x+y-1=0上，
∴f（1）=0．
又∵函數(shù)f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ，
∴f（1）=a+b，
∴a+b=0．
∵f′（x）=a（n+1）xⁿ+bnx^n-1，
∴f′（1）=（a+b）n+a=a，
又∵切線x+y=1的斜率為-1，
∴a=-1，
∴a=-1，b=1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：f（x）=-xⁿ⁺¹+xⁿ，
故f ′(x)=(n+1)xn-1(

n

n+1

-x)，
令f′（x）=0，
解得x=

n

n+1

，
即f′（x）在（0，+∞）上有唯一零點x0=

n

n+1

．
當0＜x＜

n

n+1

時，f′（x）＞0，故f（x）在(0，

n

n+1

)上單調(diào)遞增；
當x＞

n

n+1

時，f′（x）＜0，故f（x）在(

n

n+1

，+∞)上單調(diào)遞減．
[f(x)]max=f(

n

n+1

)=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(1+n)n+1

．
（Ⅲ）證明：要對任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

，只需證f(x)＜

1

ne

．
由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上有最大值，[f(x)]max=

nn

(n+1)n+1

，
故只需證

nn

(1+n)n+1

＜

1

ne

，即(

n

n+1

)n+1＜

1

e

，即ln

n

n+1

+

1

n+1

＜0，①
令

n

n+1

=t(0＜t＜1)，則

1

n+1

=1-t，
①轉(zhuǎn)化為lnt-t+1＜0 ②
令g（t）=lnt-t+1（0＜t＜1），
則g ′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

，
當0＜t＜1時，g′（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＜g（1）=0，即對于任意的0＜t＜1，②式恒成立，
∴對任意的x∈（0，+∞）都有nf（x）＜

1

e

．

點評：本題考查的是導(dǎo)函數(shù)的知識，利用導(dǎo)函數(shù)研究切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，本題涉及到函數(shù)的變形、換元和對數(shù)運算，難度較大，屬于難題．