Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為線段的中點(diǎn)，則使△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)M（x，y），P（a，b），由于M是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)B（6，0），故可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到a＝2x﹣6，b＝2y，又P（a，b）為圓x2+y2＝1上一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，將a＝2x﹣6，b＝2y代入x2+y2＝1得到M（x，y）點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，整理得點(diǎn)M的軌跡方程，使△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形,討論 分別為的情況即可.

設(shè)M（x，y），P（a，b）

由B（6，0），M是AP的中點(diǎn)

故有a＝2x﹣6，b＝2y

又P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，

∴（2x﹣6）2+（2y-4）2＝4，

整理得（x﹣3）2+＝1．

故AP的中點(diǎn)M的軌跡方程是（x﹣3）2+＝1．

△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形，若= ，以O(shè)A為直徑的圓的方程為 ，此時(shí)兩圓圓心距為 ,故兩圓相交，故M有兩個(gè)；若=，x=4與圓（x﹣3）2+＝1相切,這樣的M點(diǎn)有一個(gè);若=，這樣的M點(diǎn)不存在，故使△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)

故選：C.