Question

已知．求：
（1）函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值、最小值；
（3）函數(shù)的圖象是y=sinx經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到的？

Answer 1

解：y=3cos²x+2sinxcosx+sin²x
=3×+sin2x+
=sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+）+2，
（1）∵ω=2，∴T==π；
由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）∵x∈[-，]，
∴2x+∈[-，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
則函數(shù)的最大值為4，最小值為2-；
（3）y=sinx圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x+），
橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin（2x+），
縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=2sin（2x+），
向上平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+）+2．
分析：將函數(shù)解析式三項(xiàng)分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值與最小值；
（3）y=sinx圖象向左平移個(gè)單位，然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變，最后向上平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+）+2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的圖象變換，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換將函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．