Question

設(shè)0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，若

3

是3^sin∂與3^sinβ的等比中項(xiàng)，則

1

sinα

+

1

sinβ

的最小值為（　�。�

• A、4
• B、8
• C、1
• D、

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,基本不等式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得sinα+sinβ=1，從而

1

sinα

+

1

sinβ

=（

1

sinα

+

1

sinβ

）（sinα+sinβ），由此利用基本不等式能求出結(jié)果．

解答： 解：∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，

3

是3^sin∂與3^sinβ的等比中項(xiàng)，
∴3^sinα•3^sinβ=3^sinα+sinβ=3，
∴sinα+sinβ=1，
∴

1

sinα

+

1

sinβ

=（

1

sinα

+

1

sinβ

）（sinα+sinβ）
=2+

sinβ

sinα

+

sinα

sinβ

≥2+2

sinβ sinα • sinα sinβ

=4．
當(dāng)且僅當(dāng)sinα=sinβ時(shí)取等號(hào)，
∴

1

sinα

+

1

sinβ

的最小值為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩數(shù)和的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意基本不等式的合理運(yùn)用．