在三棱錐S-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
2
,SA=SC=2,二面角S-AC-B的余弦值是
3
3
,若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是______.
如圖所示:
取AC中點(diǎn)D,連接SD,BD,則由AB=BC,SA=SC得出SD⊥AC,BD⊥AC,
∴∠SDB為S-AC-B的平面角,且AC⊥面SBD.
由題意:AB⊥BC,AB=BC=
2
,易得:△ABC為等腰直角三角形,且AC=2,
又∵BD⊥AC,故BD=AD=
1
2
AC,
在△SBD中,BD=
1
2
AC
=
1
2
×2
=1,
在△SAC中,SD2=SA2-AD2=22-12=3,
在△SBD中,由余弦定理得SB2=SD2+BD2-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×
3
×1×
3
3
=2,
滿足SB2=BD2=SD2,∴∠SBD=90°,SB⊥BD,
又SB⊥AC,BD∩AC=D,∴SB⊥面ABC.
以SB,BA,BC為頂點(diǎn)可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為
2
的正方體,S、A、B、C都在正方體的外接球上,
正方體的對(duì)角線為球的一條直徑,所以2R=
3
×
2
,R=
6
2
,球的表面積S=4π×
6
4
=6π.
故答案為:6π.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求證:PC⊥BC;
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角,則折起后∠ADC的大小為______.

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平行四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,DB=4,以BD為棱把四邊形ABCD折成1200的二面角,則AC的長(zhǎng)為______.

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如圖,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上,且不與點(diǎn)C重合.
(Ⅰ)當(dāng)CF=1時(shí),求證:EF⊥A1C;
(Ⅱ)設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ,求tanθ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1所示的等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2a,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC、BC邊的中點(diǎn).現(xiàn)將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A-DC-B.

(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,則棱與底面垂直,如圖所示,D是棱CC1的中點(diǎn),且∠ACB=90°,BC=1,AC=
3
,AA1=
6

(Ⅰ)證明:A1D⊥平面AB1C1;
(Ⅱ)求二面角B-AB1-C1的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AA1=2
2
,∠ACB=90°,M是AA1的中點(diǎn),N是BC1的中點(diǎn)
(1)求證:MN平面A1B1C1
(2)求點(diǎn)C1到平面BMC的距離;
(3)求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF-90°,BECF,CE⊥EF,AD=
3
,EF=2.
(1)求異面直線AD與EF所成的角;
(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為45°?

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同步練習(xí)冊(cè)答案