Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，求函數(shù)的極值.

（2）若在有唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍.

（3）若，設(shè)，求證： 在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，且對(duì)（2）中的，滿(mǎn)足.

Answer 1

【答案】（1）有極小值，無(wú)極大值 （2） （3）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性可得有極小值，無(wú)極大值.

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后令設(shè)．結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論可得的取值范圍是

(3) 設(shè)，則，換元可得，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

．

由，令，得．

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化如下表：

		0
		極小值

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

有極小值，無(wú)極大值．

（2）解法一： ，

令，得，設(shè)．

則在有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于在有唯一的零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，方程的解為，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

且， ，所以滿(mǎn)足題意；

當(dāng)， 時(shí)， ，此時(shí)方程的解為，不符合題意；

當(dāng)， 時(shí)，由，

只需，得．

綜上， ．

（說(shuō)明： 未討論扣1分）

解法二： ，

令，由，得．

設(shè)，則， ，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在恰有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題．

又當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

故直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)．

（3）設(shè)，則，

，

，

由，故由（2）可知，

方程在內(nèi)有唯一的解，

且當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

又，所以．

取，

則

，

從而當(dāng)時(shí)， 必存在唯一的零點(diǎn)，且，

即，得，且，

從而函數(shù)在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，滿(mǎn)足．