【題目】如圖，在多面體中，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，.

(1)求證：平面；

(2)求平面與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)及平面平面可得平面,即,取的中點(diǎn),連接,可證得,即可求證；

（2）以為原點(diǎn),以所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由（1）可得為平面的一個(gè)法向量,再求得平面的一個(gè)法向量,進(jìn)而利用余弦定理求解即可.

（1）證明:正方形,,

又平面平面,平面平面,平面,

平面,

平面,,

取的中點(diǎn),連接,易得四邊形為正方形,,

則,即,

又,則平面.

（2）且,,

又平面,易知兩兩垂直,

以為原點(diǎn),以所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

易得,則,,

由（1）得為平面的一個(gè)法向量,

令為平面的一個(gè)法向量,則,得,

不妨令,則,故,

令所求二面角為,則,

則

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)，（以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，，，，），使點(diǎn)、到的距離都為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某電商平臺(tái)為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)（元/件）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量（萬件）

90

84

83

80

75

68

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若該產(chǎn)品成本是4元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測把單價(jià)定為多少時(shí)，工廠獲得最大利潤?

（參考公式：回歸方程，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《周髀算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其記載的“日月歷法”曰：“陰陽之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，…．生數(shù)皆終，萬物復(fù)蘇，天以更元作紀(jì)歷”，某老年公寓住有20位老人，他們的年齡（都為正整數(shù)）之和恰好為一遂，其中年長者已是奔百之齡（年齡介于90至100），其余19人的年齡依次相差一歲，則年長者的年齡為( )

A.94B.95C.96D.98

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年某高校藝術(shù)類考試中，共有6位選手參加，其中3位女生，3位男生，現(xiàn)這6名考生依次出場進(jìn)行才藝展出，如果3位男生中任何2人都不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個(gè)，那么這6名考生出場順序的排法種數(shù)為( )

A.108B.120C.132D.144

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)例新冠肺炎確診患者的臨床特征進(jìn)行了回顧性分析.其中名吸煙患者中，重癥人數(shù)為人，重癥比例約為；名非吸煙患者中，重癥人數(shù)為人，重癥比例為.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；

（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為新冠肺炎重癥與吸煙有關(guān)？

（3）已知每例重癥患者平均治療費(fèi)用約為萬元，每例輕癥患者平均治療費(fèi)用約為萬元.根據(jù)（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，分別求吸煙患者和非吸煙患者的平均治療費(fèi)用.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

附：

≥

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱柱平面是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若直線和所成角的最小值與直線和平面所成角的最大值相等，則滿足條件的點(diǎn)的軌跡是（ ）

A.直線的一部分B.圓的一部分C.拋物線的一部分D.橢圓的一部分

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，邊長為4的正方形，為中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，折起，使得，重合為點(diǎn)，形成四棱錐，過點(diǎn)作平面于.①平面平面；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為；③為的垂心；④長的取值范圍為 .則以上判斷正確的有______（填正確命題的序號(hào)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平行四邊形ABCD中，∠A，2AB＝BC，E，F分別是BC，AD的中點(diǎn).將四邊形DCEF沿著EF折起，使得平面ABEF⊥平面DCEF，得到三棱柱AFD﹣BEC.

（1）證明：DB⊥EF；

（2）若AB＝2，求三棱柱AFD﹣BEC的體積.

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