Question

已知橢圓C中心為坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同兩點P，Q，且OP⊥OQ，求點O到直線l的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓C的方程為．由題意可得，解出即可．
（2）直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數的關系，再利用?，及點到直線的距離公式即可得出．
解答：解：（1）設橢圓C的方程為．
由題意可得，解得，
∴橢圓C的方程為．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立，消去y得到（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0．
∵△＞0，∴64k²m²-16（3+4k²）（m²-21）=0，化為m²=21+28k²．（*）
∴，．（**）
∵OP⊥OQ，∴．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴．
把（**）代入可得．
化為m²=12+12k²=12（1+k²），∴．
∴點O到直線l的距離d==．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數的關系、向量垂直與數量積得關系、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．