Question

【題目】若中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，圓的直徑是橢圓的長軸，C是橢圓的上頂點(diǎn)，動(dòng)直線AB過C點(diǎn)且與圓交于A、B兩點(diǎn)，CD垂直于AB交橢圓于點(diǎn)D．

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，由此求得橢圓的值，進(jìn)而求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能構(gòu)成三角形，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)出直線的方程，得到直線的方程，計(jì)算圓心到直線的的距離，由直線和圓相交的弦長公式計(jì)算出弦長.利用直線的方程和橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及弦長公式，計(jì)算出弦長.由此求得，利用換元法和基本不等式，求得面積的最大值，根據(jù)基本不等式等號(hào)成立的條件求得直線的斜率，由此求得直線的方程.當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，計(jì)算出，不是最大值.

（1）解：雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率為 ，

由題意，，，解得：，

.橢圓方程為 ；

（2）解：當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，不能構(gòu)成三角形，不符合題意

當(dāng)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，直線CD的方程為

圓心到直線AB的距離為，

直線AB被圓所截得的弦長，

由得：，

，，

故，

，

令，則，

故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)，

當(dāng)直線AB斜率為0，即軸時(shí)，，

面積的最大值為，這時(shí)直線AB的方程為.