如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．
（1）求證平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）證明見解析；（2）.

解析試題分析：（方法一：傳統(tǒng)幾何方法）（1）證明線面平行，可在平面內(nèi)找到一條線與面外的線AF平行即可，因此本小題可取CE中點為G，連接DG，F(xiàn)G，證明四邊形AFGD為平行四邊形即可完成證明；（2）本小題中可過點E作CB的平行線交BF的延長線于P，連接FP,EP,AP，把問題轉(zhuǎn)化為證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系算出其余弦值.
（方法二：空間向量方法）（1）本小題可以以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立空間直角坐標系，把問題轉(zhuǎn)化為證明AF的方向向量與平面CDE的一個法向量垂直（證它們的數(shù)量積為零），而根據(jù)題意易得這個法向量為；（2）本小題為常考的利用空間向量解決面面角問題，只需找到這兩個面的法向量，利用公式完成計算即可，但要注意本題面面角為銳二面角.
試題解析：（方法一：）（1）取CE中點為G，連接DG，F(xiàn)G，

且,∴四邊形BFGC為平行四邊形，則且.
∵四邊形ABCD為矩形，∴且,∴且,
∴四邊形AFGD為平行四邊形，則
∵，,∴.
（2）過點E作CB的平行線交BF的延長線于P，連接FP,EP,AP,
∵,∴A,P,E,D四點共面.四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又，平面，，又平面平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角.
，．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
（方法二：）（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又平面平面，且平面平面,∴平面,以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點，那么① ；② 面；③ ；④ 、異面
其中正確結(jié)論的序號是____★______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，點為斜三棱柱的側(cè)棱上一點，交于點，交于點.

(1) 求證：；
(2) 在任意中有余弦定理：.
拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，底面為矩形，，，，，分別為的中點．
(1) 求證：；
(2) 求證：平面；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中-A BC中，AB  AC， AB=AC=2，=4，點D是BC的中點．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與所成二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖. 直三棱柱ABC —A1B1C1中，A1B1= A1C1,點D、E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．
求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）直線A1F∥平面ADE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，點分別是棱的中點． 
(1)求證：//平面；
(2)若平面平面，，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

ABCD與CDEF是兩個全等的正方形，且兩個正方形所在平面互相垂直，M是BC的中點，則異面直線AM與DF所成角的正切值為    ★    ．

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