【題目】已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，交橢圓于點，，點為橢圓的左焦點，的周長為..

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點、，，求證：直線與直線的交點在定直線上.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓的性質(zhì)及已知條件求出，即可得出橢圓的標準方程。

（Ⅱ）設(shè)出直線和直線的直線方程，分別代入橢圓的標準方程，利用弦長公式和韋達定理得出、，根據(jù) 確定的值，聯(lián)立直線和直線的方程得到點P的坐標，從而確定點P在定直線上。

解：（Ⅰ）由已知，得，，，

橢圓的標準方程.

（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在.

令，，，，，.

將直線的方程代入橢圓方程得：，

，，

同理，.

由得，此時，，

直線，

，即點的定直線上.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；

（2）估計該公司投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）

1

2

3

4

5

銷售收益y（單位：萬元）

1

3

4

7

表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將（2）的結(jié)果填入上表的空白欄，并計算y關(guān)于x的回歸方程.

回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司需要對所生產(chǎn)的三種產(chǎn)品進行檢測，三種產(chǎn)品數(shù)量（單位：件）如下表所示：

產(chǎn)品

A

B

C

數(shù)量（件）

180

270

90

采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取6件.

（1）求分別抽取三種產(chǎn)品的件數(shù)；

（2）將抽取的6件產(chǎn)品按種類編號，分別記為，現(xiàn)從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件.

（�。┯盟o編號列出所有可能的結(jié)果；

（ⅱ）求這兩件產(chǎn)品來自不同種類的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.在購進機器時，可以一次性額外購買幾次維修服務，每次維修服務費用200元，另外實際維修一次還需向維修人員支付小費，小費每次50元.在機器使用期間，如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務費用500元，無需支付小費.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時一次性購買幾次維修服務，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下面統(tǒng)計表：

維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，y表示1臺機器在維修上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的維修服務次數(shù).

（1）若=10，求y與x的函數(shù)解析式；

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求n的最小值；

（3）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務，或每臺都購買11次維修服務，分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買10次還是11次維修服務？

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【題目】（本小題滿分10分）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，，，，底面，設(shè)點滿足．

（1）當時，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小為，求的值．

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【題目】地球海洋面積遠遠大于陸地面積，隨著社會的發(fā)展，科技的進步，人類發(fā)現(xiàn)海洋不僅擁有巨大的經(jīng)濟利益，還擁有著深遠的政治利益.聯(lián)合國于第63屆聯(lián)合國大會上將每年的6月8日確定為“世界海洋日”.2019年6月8日，某大學的行政主管部門從該大學隨機抽取100名大學生進行一次海洋知識測試，并按測試成績（單位：分）分組如下：第一組[65，70），第二組[70，75），第二組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到頻率分布直方圖如下圖：

（1）求實數(shù)的值；

（2）若從第四組、第五組的學生中按組用分層抽樣的方法抽取6名學生組成中國海洋實地考察小隊，出發(fā)前，用簡單隨機抽樣方法從6人中抽取2人作為正、副隊長，列舉出所有的基本事件并求“抽取的2人為不同組”的概率.

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【題目】已知點，，圓C的方程為，過點A的直線l與圓C相切，點P為圓C上的動點.

（1）求直線l的方程；

（2）求面積的最大值.

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【題目】下列命題中，正確的共有（ ）

① 因為直線是無限的，所以平面內(nèi)的一條直線就可以延伸到平面外去；

② 兩個平面有時只相交于一個公共點；

③ 分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點只可能在兩個平面的交線上；

④ 一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)；

A.0個B.1個C.2個D.3個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，是棱的中點，，在線段上，且.

（1）證明：面；

（2）若，面面，求二面角的余弦值．

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