(2013•汕頭二模)已知函數(shù)f(x)=x2-ax,g(x)=lnx.
(1)若f(x)≥g(x)對于定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設h(x)=f(x)+g(x)有兩個極值點x1,x2,且x1∈(0,
1
2
)
,證明:h(x1)-h(x2)>
3
4
-ln2

(3)設r(x)=f(x)+g(
1+ax
2
)
對于任意的a∈(1,2),總存在x0∈[
1
2
,1]
,使不等式r(x)>k(1-a2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)由于f(x)≥g(x)恒成立,只需使x2-ax≥lnx,(x>0)分離參數(shù)來解決,注意a≤F(x)即要a≤F(x)min;a≥F(x)即要a≥F(x)max;
(2)借助于極值點的范圍,利用函數(shù)的導數(shù)來處理;
(3)與(1)類似處理,注意分類討論.
解答:解:(1)由題意:f(x)≥g(x)?x2-ax≥lnx,(x>0)
分離參數(shù)α可得:a≤x-
lnx
x
,(x>0)…(1分)
Φ(x)=x-
lnx
x
,則Φ(x)=1+
lnx-1
x2
=
x2+lnx-1
x2
…(2分)
由于函數(shù)y=x2,y=lnx在區(qū)間(0,+∞)上都是增函數(shù),所以
函數(shù)y=x2+lnx-1在區(qū)間(0,+∞)上也是增函數(shù),顯然x=1時,該函數(shù)值為0
所以當x∈(0,1)時,Φ(x)<0,當x∈(1,+∞)時,Φ(x)>0
所以函數(shù)Φ(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù)
所以Φ(x)min=Φ(1)=1,所以a≤Φ(x)min=1即a∈(-∞,1)…(4分)
(2)由題意知道:h(x)=x2-ax+lnx.則h(x)=2x-a+
1
x
=
2x2-ax+1
x
,(x>0)

所以方程2x2-ax+1=0,(x>0)有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2,且x1∈(0,
1
2
)
,
又因為x1x2=
1
2
,所以x2=
1
2x1
∈(1,+∞)
,且axi=2xi2+1,(i=1,2)…(6分)
而h(x1)-h(x2)=(x12-ax1+lnx1)-(x22-ax2+lnx2)
=[x12-(2x12+1)+lnx1]-[x22-(2x22+1)+lnx2]
=x22-x12+ln
x1
x2
=x22-(
1
2x2
)2+ln
1
2x2
x2
x22-
1
4x22
-ln2x22
,(x2>1)
μ(x)=x2-
1
4x2
-ln2x2,(x≥1)
,則μ′(x)=
(2x2-1)2
2x3
≥0

所以μ(x)>μ(1)=
3
4
-ln2
,即h(x1)-h(x2)>
3
4
-ln2
…(8分)
(3)r(x)=f(x)+g(
1+ax
2
)=x2-ax+ln
1+ax
2

所以r′(x)=2x-a+
a
ax+1
=
2ax2-a2x+2x
ax+1
=
2ax(x-
a2-2
2a
)
ax+1
…(9分)
因為a∈(1,2),所以
a2-2
2a
=
a
2
-
1
a
2
2
-
1
2
=
1
2

所以當x ∈(
1
2
,+∞)
時,r(x)是增函數(shù),所以當x0∈[
1
2
,1]
時,
r(x0)max=r(1)=1-a+ln
a+1
2
,a∈(1,2)…(10分)
所以,要滿足題意就需要滿足下面的條件:1-a+ln
a+1
2
>k(1-a2)

若令φ(a)=1-a+ln
a+1
2
-k(1-a2)
,a∈(1,2),
即對任意a∈(1,2),φ(a)=1-a+ln
a+1
2
-k(1-a2)
>0恒成立
因為φ(a)=-1+
1
a+1
+2ka
=
2ka
a+1
(a-
1
2k
+1)
…(11分)
分類討論如下:
①若k=0,則φ(a)=
-a
a+1
,所以φ(a)在(1,2)遞減,
此時φ(a)<φ(1)=0不符合題意
②若k<0,則φ(a)=
2ka
a+1
(a-
1
2k
+1)
,所以φ(a)在區(qū)間(1,2)遞減,
此時φ(a)<φ(1)=0不符合題意.
③若k>0,則φ(a)=
2ka
a+1
(a-
1
2k
+1)
,那么當
1
2k
-1>1
時,假設t為2與
1
2k
-1
中較小的一個數(shù),即t={2,
1
2k
-1
},
則φ(a)在區(qū)間(1,min{2,
1
2k
-1
})上遞減,此時φ(a)<φ(1)=0不符合題意.
綜上可得
k>0
1
2k
-1≤1
解得k≥
1
4
,即實數(shù)k的取值范圍為[
1
4
,+∞)
…(14分)
點評:本題考查導數(shù)的綜合應用,屬于較難的題目,注意與不等式恒成立的有關的參數(shù)取值范圍問題常用分離參數(shù)來解決.
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