Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（1，2），|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°．
（1）求與$\overrightarrow a$垂直的單位向量的坐標(biāo)；
（2）求向量$\overrightarrow b-2\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$上的投影．

Answer 1

分析 （1）設(shè)與$\overrightarrow a$垂直的單位向量的坐標(biāo)為（x，y），利用單位向量與$\overrightarrow{a}$垂直得到方程組解之；
（2）根據(jù)投影的定義得到所求．

解答 解：（1）設(shè)與$\overrightarrow a$垂直的單位向量的坐標(biāo)為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
所以與$\overrightarrow a$垂直的單位向量的坐標(biāo)為（$-\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{\sqrt{5}}{5}$），或（$\frac{2\sqrt{5}}{5}，-\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
（2））$（\overrightarrow-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}-2×5$，
所以向量$\overrightarrow b-2\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$上的投影為$\frac{（\overrightarrow-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}-10}{\sqrt{5}}=\frac{1}{2}-2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算；熟練掌握向量的數(shù)量積公式以及幾何意義是解答的關(guān)鍵．