Question

【題目】已知直線： 與圓相交的弦長等于橢圓： （）的焦距長．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，橢圓與拋物線（）交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）利用圓心到直線的距離計算出直線與圓相交的弦長，得到.利用求得，得到橢圓方程.（2）設(shè)出三個點的坐標(biāo)，利用點斜式寫出直線的方程，令求得兩點的坐標(biāo)，代入并利用兩點在橢圓上進(jìn)行化簡.

【試題解析】

解：（1）由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為 ，

直線與圓相交的弦長為，則， ，

又∵，∴，

∴橢圓的方程．

（2）證明：由條件可知， ， 兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)， ，則，

由題可知， ， ，所以， ．

又直線的方程為，令得點的橫坐標(biāo)，

同理可得點的橫坐標(biāo)，

所以

，

即為定值．