Question

求下列各函數(shù)的最大值與最小值．

(1)f(x)＝x³－2x²＋1，x∈[－1，2]，

(2)f(x)＝＋，x∈(0，1)(a＞0，b＞0)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－4x，令(x)＝0， 　　得x1＝0，x2＝．因此x變化時，、y的變化情況如下表： 　　∴ymax＝1，ymin＝． 　　(2)(x)＝＋＝． 　　令(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0， 　　解得x＝． 　　當(dāng)0＜x＜時，(x)＜0； 　　當(dāng)＜x＜1時，(x)＞0， 　　∵函數(shù)f(x)在點x＝處取得極小值， 　　即最小值為f()＝(a＋b)2， 　　即f(x)min＝(a＋b)2． 　　由于x→1時，f(x)→＋∞， 　　∴函數(shù)無最大值． 　　解析：由求最值的方法步驟直接求解．

提示：

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在極值點處或區(qū)間端點處取得，因此在求閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷導(dǎo)數(shù)為零的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大(小)的函數(shù)值，就是最大(小)值，對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)(定義域為開區(qū)間或半開半閉區(qū)間)求最值，除求出函數(shù)的極大值、極小值外，還應(yīng)考慮函數(shù)在區(qū)間端點處的極限值或畫出函數(shù)的大致圖像，再判定函數(shù)的最大(小)值，否則會犯錯誤，但定義在開區(qū)間(a，b)上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點．