【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證;

(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對(duì)一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.

【答案】1)詳見解析;(2)存在且為.

【解析】

(Ⅰ)要證明函數(shù)不等式),注意到,因此我們可先研究函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性,這可通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)確定;

(Ⅱ)首先把不等式具體化,即不等式,注意到特殊情形,時(shí),不等式為,因此的值只有為1或2,因此只要證時(shí),不等式恒成立即可,這仍然通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證得結(jié)論,為了確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的方便性,把不等式變?yōu)?/span>,因此只要研究函數(shù)的單調(diào)性,求得最小值即可.

試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則 ,

,則 ,

,得,故時(shí)取得最小值,

上為增函數(shù),

,

(Ⅱ) ,

,得對(duì)一切恒成立,

當(dāng)時(shí),可得,所以若存在,則正整數(shù)的值只能取1,2.

下面證明當(dāng)時(shí),不等式恒成立,

設(shè) ,則 ,

由(Ⅰ) ,

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

,

當(dāng)時(shí),不等式恒成立

所以的最大值是2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī),得到如下所示的列聯(lián)表:

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

10

b

乙班

c

30

總計(jì)105

已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人,成績(jī)優(yōu)秀的概率為,則下列說法正確的是(

參考公式:

附表:

P(K2k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

A.列聯(lián)表中c的值為30,b的值為35

B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50

C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按95%的可靠性要求,能認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系

D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按95%的可靠性要求,不能認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱,平面,,,的中點(diǎn)。

(1)求證:平面

(2)若,求二面角的余弦值;

(3)若點(diǎn)在線段上,且平面,確定點(diǎn)的位置并求線段的長(zhǎng)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是( )

A. 命題“若,則”的否命題為:“若

B. 為真命題,為假命題,則均為假命題

C. 命題“若成等比數(shù)列,則”的逆命題為真命題

D. 命題“若,則”的逆否命題為真命題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,三個(gè)點(diǎn), , 中恰有兩個(gè)點(diǎn)在上.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過的直線交 兩點(diǎn),點(diǎn)上任意一點(diǎn),證明:直線, , 的斜率成等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】十九大提出,堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,幫助貧困村種植蜜柚,并利用電商進(jìn)行銷售,為了更好地銷售,現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重,其質(zhì)量分別在,,,,單位:克中,其頻率分布直方圖如圖所示.

按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的蜜柚中抽取5個(gè),再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè),求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率;

以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個(gè)蜜柚等待出售,某電商提出兩種收購(gòu)方案:

A.所有蜜柚均以40元千克收購(gòu);

B.低于2250克的蜜柚以60元個(gè)收購(gòu),高于或等于2250克的以80元個(gè)收購(gòu).

請(qǐng)你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某單位利用周末時(shí)間組織職工進(jìn)行一次健康之路、攜手共筑徒步走健身活動(dòng),有人參加,現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為,六組,其頻率分布直方圖如圖所示,已知歲年齡段中的參加者有.

1)求的值并補(bǔ)全頻率分布直方圖;

2)從歲年齡段中采用分層抽樣的方法抽取人作為活動(dòng)的組織者,其中選取人作為領(lǐng)隊(duì),記選取的名領(lǐng)隊(duì)中年齡在歲的人數(shù)為,求的分布列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列四個(gè)命題:

樣本方差反映的是所有樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度;

某校高三一級(jí)部和二級(jí)部的人數(shù)分別是m、n,本次期末考試兩級(jí)部數(shù)學(xué)平均分分別是a、b,則這兩個(gè)級(jí)部的數(shù)學(xué)平均分為

某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查,現(xiàn)將800名學(xué)生從001800進(jìn)行編號(hào),已知從497--51216個(gè)數(shù)中取得的學(xué)生編號(hào)是503,則初始在第1小組00l016中隨機(jī)抽到的學(xué)生編號(hào)是007

其中命題正確的個(gè)數(shù)是

A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱柱,⊥底面,底面為等邊三角形,,, ,分別為, 的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求平面與平面所成二面角的余弦值;

(3)設(shè)平面與平面的交線為求證:與平面不平行.

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