Question

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，Q是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，若|

PF1

|-|

PF2

|=4，則

PQ

•（

PF1

-

PF2

）=

 

Answer 1

分析：先取Q的特殊位置假設(shè)Q在原點(diǎn)上，然后根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得到|

PF1

|+|

PF2

|=10，再結(jié)合|

PF1

|+|

PF2

|=10可分別求出|

PF1

|、|

PF2

|的值，然后用

PF1

、

PF2

表示出

PQ

來，最后根據(jù)

PQ

•（

PF1

-

PF2

）=

1

2

（|

PF1

|²-|

PF2

|²）將|

PF1

|、|

PF2

|的值代入可得答案．

解答：解：因?yàn)镼是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，所以可取原點(diǎn)這個(gè)特殊位置來解；
又P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，|

PF1

|+|

PF2

|=10，且|

PF1

|-|

PF2

|=4
∴|

PF1

|=7，|

PF2

|=3，
∴

PQ

•（

PF1

-

PF2

）=

PO

• 

F2F1

=

1

2

（

PF1

+

PF2

）（

PF1

-

PF2

）
=

1

2

（|

PF1

|²-|

PF2

|²）
=20
故答案為：20

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用．考查基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用．