Question

如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1＝，M是線段B1D1的中點．

 

(1)求證：BM∥平面D1AC；

(2)求證：D1O⊥平面AB1C；

(3)求二面角B-AB1-C的大小．

 

Answer 1

60°.

【解析】(1)證明　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點O(1,1,0)、D1(0,0，)，

∴＝(－1，－1，)，

又點B(2,2,0)，M(1,1，)，

∴＝(－1，－1，)，

∴＝，又∵OD1與BM不共線，

∴OD1∥BM.

又OD1?平面D1AC，BM?平面D1AC，

∴BM∥平面D1AC.

(2)證明　連接OB1.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝

(－1，－1，)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.

(3)解　∵CB⊥AB，CB⊥BB1，∴CB⊥平面ABB1，∴＝(－2,0,0)為平面ABB1的一個法向量．由(2)知為平面AB1C的一個法向量．

∴cos〈，〉＝，∴與的夾角為60°，即二面角B-AB1-C的大小為60°.