Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)是曲線圖象上的兩個相異的點，若直線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)有兩個極值點且,若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為;(2);（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解 的解析式，然后求解分式不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對導(dǎo)函數(shù)分離系數(shù)，結(jié)合均值不等式的結(jié)論討論實數(shù) 的取值范圍即可；

(3)利用題意分析所給的問題，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)設(shè)，

討論函數(shù) 的性質(zhì)即可得到實數(shù) 的取值范圍.

試題解析：

（1），

令或，

的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.

即，所以，

令在上單調(diào)遞增，

∴，對恒成立，

,對恒成立，

又 ，當時取等號，

，故.

（3），因為函數(shù)有兩個極值點，所以是方程的兩個根，即，所以是方程的兩個根，

所以有，

∴

令，則，設(shè)，

∴，

∴在上單減，∴，

故.