【題目】已知函數(shù)f(x)=2x3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象(如圖所示)經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0). (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若方程f(x)﹣m=0恰有2個根,求m的值.
【答案】解:(Ⅰ)依題意,可得f'(x)=6x2+2bx+c=0的解為x=1,x=2, 故 解得
所以f(x)=2x3﹣9x2+12x.
(Ⅱ)f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2),
當(dāng)f'(x)>0時,x<1或x>2;
當(dāng)f'(x)<0時,1<x<2.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,1)和(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1,2),
當(dāng)x=1時,f(x)極大=5,當(dāng)x=2時,f(x)極小=4.
故方程f(x)﹣m=0恰有2個根,得m=4或m=5
【解析】(Ⅰ)根據(jù)圖象可得得f'(x)=6x2+2bx+c=0的解為x=1,x=2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,聯(lián)立方程組求解即可;(Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出相應(yīng)函數(shù)值,即可求實(shí)數(shù)m的值.
【考點(diǎn)精析】利用基本求導(dǎo)法則和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo);一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1= (n∈N*).
(1)求a2 , a3 , a4;
(2)猜測數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域是D,若存在常數(shù)m、M,使得m≤f(x)≤M對任意x∈D成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的有界函數(shù),其中m稱為函數(shù)f(x)的下界,M稱為函數(shù)f(x)的上界;特別地,若“=”成立,則m稱為函數(shù)f(x)的下確界,M稱為函數(shù)f(x)的上確界. (Ⅰ)判斷 是否是有界函數(shù)?說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=1+a2x+4x(x∈(﹣∞,0))是以﹣3為下界、3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù) ,T(a)是f(x)的上確界,求T(a)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=asinx﹣bcosx(a,b為常數(shù),a≠0,x∈R)在x= 處取得最大值,則函數(shù)y=f(x+ )是( )
A.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱
B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱
D.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中 (為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:f(x+y)=f(x)+f(y),若F(x)=f(asinx)+f(sinx+cos2x﹣3)在(0,π)上有零點(diǎn),則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= cos(2x﹣ ).
(1)若sinθ=﹣ ,θ∈( ,2π),求f(θ+ )的值;
(2)若x∈[ , ],求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
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