Question

12．已知函數f（x）=|x+m|+|x-3|，g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$．
（1）m＞-3時，若不等式f（x）≥8的解集為（-∞，-3]∪[5，+∞），求實數m的值：
（2）若存在實數x₀，使得g（x₀）＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得當x=-3時，f（x）=8，且x=5時，f（x）=8，從而求得實數m的值．
（2）由題意可得，函數g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）在[-2，6]上有解，利用兩個向量的數量積公式，兩個向量共線的性質求得g（x）的最大值為8，可得8＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1），由此求得t的范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）=|x+m|+|x-3|，
當m＞-3時，不等式f（x）≥8的解集為（-∞，-3]∪[5，+∞），
∴當x=-3時，f（x）=8，且x=5時，f（x）=8，
即|-3+m|+6=8，且|5+m|+2=8，∴m=1．
（2）∵g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$的定義域為[-2，6]，
存在實數x₀，使得g（x₀）＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，
則g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）在[-2，6]上有解．
∵g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$=（$\sqrt{x+2}$，$\sqrt{6-x}$）•（$\sqrt{7}$，1）
≤$\sqrt{x+2+（6-x）}$•$\sqrt{7+1}$=8，
當且僅當$\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{6-x}}{1}$時，即 x=5時，等號成立，
故g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$的最大值為8，
∴8＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1），∴0＜3t+1＜${（\sqrt{2}）}^{8}$=16，
∴-$\frac{1}{3}$＜t＜5．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，兩個向量的數量積公式，兩個向量共線的性質，屬于中檔題．