已知如圖,橢圓方程為(4>b>0).P為橢圓上的動點,
F1、F2為橢圓的兩焦點,當點P不在x軸上時,過F1作∠F1PF2的外角
平分線的垂線F1M,垂足為M,當點P在x軸上時,定義M與P重合.
(1)求M點的軌跡T的方程;
(2)已知O(0,0)、E(2,1),試探究是否存在這樣的點Q:Q是軌跡T內(nèi)部的整點(平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點),且△OEQ的面積S△OEQ=2?若存在,求出點Q的坐標,若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)延長F1M與F2P的延長線相交于點N,連接OM,利用條件求出M是線段NF1的中點,轉(zhuǎn)化出|OM|=4即可求出M點的軌跡T的方程;
(2)可以先觀察出軌跡T上有兩個點A(-4,0),B(4,0)滿足S△OEA=S△OEB=2,再利用同底等高的兩個三角形的面積相等,,,知道符合條件的點均在過A、B作直線OE的兩條平行線l1、l2上,再利用點Q是軌跡T內(nèi)部的整點即可求出點Q的坐標.
解答:解:(1)當點P不在x軸上時,延長F1M與F2P的延長線相交于點N,連接OM,
∵∠NPM=∠MPF1,∠NMP=∠PMF1
∴△PNM≌△PF1M
∴M是線段NF1的中點,|PN|=|PF1||(2分)
∴|OM|=|F2N|=(|F2P|+|PN|)=(|F2P|+|PF1|)
∵點P在橢圓上
∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4,(4分)
當點P在x軸上時,M與P重合
∴M點的軌跡T的方程為:x2+y2=42.(6分)

(2)連接OE,易知軌跡T上有兩個點
A(-4,0),B(4,0)滿足S△OEA=S△OEB=2,
分別過A、B作直線OE的兩條平行線l1、l2
∵同底等高的兩個三角形的面積相等
∴符合條件的點均在直線l1、l2上.(7分)

∴直線l1、l2的方程分別為:、(8分)
設(shè)點Q(x,y)(x,y∈Z)∵Q在軌跡T內(nèi),
∴x2+y2<16(9分)
分別解
(11分)
∵x,y∈Z
∴x為偶數(shù),在上x=-2,,0,2對應(yīng)的y=1,2,3
上x=-2,0,2,對應(yīng)的y=-3,-2,-1(13分)
∴滿足條件的點Q存在,共有6個,
它們的坐標分別為:(-2,1),(0,2),(2,3),(-2,-3),(0,-2),(2,-1).(14分)
點評:本題涉及到軌跡方程的求法.在求動點的軌跡方程時,一般多是利用題中條件得出關(guān)于動點坐標的等式,整理可得動點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖,橢圓方程為
x2
16
+
y2
b2
=1
(4>b>0).P為橢圓上的動點,
F1、F2為橢圓的兩焦點,當點P不在x軸上時,過F1作∠F1PF2的外角
平分線的垂線F1M,垂足為M,當點P在x軸上時,定義M與P重合.
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(2)已知O(0,0)、E(2,1),試探究是否存在這樣的點Q:Q是軌跡T內(nèi)部的整點(平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點),且△OEQ的面積S△OEQ=2?若存在,求出點Q的坐標,若不存在,說明理由.

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已知如圖,橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F1、F2為橢圓的兩焦點,當點P不在x軸上時,過F1作∠F1PF2的外角

平分線的垂線F1M,垂足為M,當點P在x軸上時,定義M與P重合.

(1)求M點的軌跡T的方程;

(2)已知、,試探究是否存在這樣的點是軌跡T內(nèi)部的整點(平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點),且△OEQ的面積?若存在,求出點Q的坐標,若不存在,說明理由.

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(本題滿分14分)已知如圖,橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F1、F2為橢圓的兩焦點,當點P不在x軸上時,過F1作∠F1PF2的外角

平分線的垂線F1M,垂足為M,當點P在x軸上時,定義M與P重合.

(1)求M點的軌跡T的方程;(2)已知、

試探究是否存在這樣的點是軌跡T內(nèi)部的整點

(平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點),且△OEQ的面積?

若存在,求出點Q的坐標,若不存在,說明理由.

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