Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，．

Answer 1

【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，利用f ′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.

詳解：（1）f（x）的定義域為，f ′（x）=aex–．

由題設(shè)知，f ′（2）=0，所以a=．

從而f（x）=，f ′（x）=．

當0<x<2時，f ′（x）<0；當x>2時，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．

（2）當a≥時，f（x）≥．

設(shè)g（x）=，則

當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．

故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．

因此，當時，．