【題目】如圖,在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為棱C1D1的中點(diǎn),Q為棱BB1上的點(diǎn),且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若 ,求AP與AQ所成角的余弦值;
(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°,求實(shí)數(shù)λ的值.
【答案】
(1)解:以 為正交基底,建立如圖所示空
間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.
因?yàn)? , ,
所以 = .
所以AP與AQ所成角的余弦值為
(2)解:由題意可知, , .
設(shè)平面APQ的法向量為 =(x,y,z),
則 即
令z=﹣2,則x=2λ,y=2﹣λ.
所以 =(2λ,2﹣λ,﹣2).
又因?yàn)橹本AA1與平面APQ所成角為45°,
所以|cos< , >|= = ,
可得5λ2﹣4λ=0,又因?yàn)棣恕?,所以 .
【解析】(1)以 為正交基底,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.求出 , ,利用數(shù)量積求解AP與AQ所成角的余弦值.(2) , .求出平面APQ的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某屆奧運(yùn)會(huì)上,中國隊(duì)以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎(jiǎng)牌榜第二,某校體育愛好者在高三 年級(jí)一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會(huì)中國隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查(結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種),從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人,具體的調(diào)查結(jié)果如表:
班號(hào) | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
頻數(shù) | 5 | 9 | 11 | 9 | 7 | 9 |
滿意人數(shù) | 4 | 7 | 8 | 5 | 6 | 6 |
(1)在高三年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿意態(tài)度的概率;
(2)若從一班至二班的調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中對(duì)“本屆奧運(yùn)會(huì)中國隊(duì)表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|4x﹣a|+|4x+3|,g(x)=|x﹣1|﹣|2x|.
(1)解不等式g(x)>﹣3;
(2)若存在x1∈R,也存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 (a>b>0)的離心率為 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作OP的垂線交直線 于點(diǎn)Q,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中,已知第行的所有數(shù)字之和為,若去除所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……,則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為( )
A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.
(1)求他們拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率;
(2)求甲拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)不大于乙拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海南沿海某次超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)過后,當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn),焊接工王師傅每天都很忙碌.一天他遇到了一個(gè)難題:如圖所示,有一塊扇形鋼板,半徑為米,圓心角,施工要求按圖中所畫的那樣,在鋼板上裁下一塊平行四邊形鋼板,要求使裁下的鋼板面積最大.請(qǐng)你幫助王師傅解決此問題.連接,設(shè),過作,垂足為.
(1)求線段的長度(用來表示);
(2)求平行四邊形面積的表達(dá)式(用來表示);
(3)為使平行四邊形面積最大,等于何值?最大面積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)中,,,,.
(1)證明:平面;
(2)若是的中點(diǎn),在線段上是否存在一點(diǎn)使平面?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)的位置;若不存在,也請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法,如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入x的值為2,則輸出v的值為( )
A.210﹣1
B.210
C.310﹣1
D.310
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