Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1有公共焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，且兩支曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF|=2，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、5
• B、

  3

• C、

  1

  2

• D、2

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出橢圓的右焦點(diǎn)為F（2，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式與橢圓的方程，算出點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3

2

，

15

2

），由點(diǎn)P在雙曲線上且橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，建立關(guān)于a、b的方程組，解出a、b之值再利用雙曲線的離心率公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：∵橢圓

x2

9

+

y2

5

=1中，c=

9-5

=2，∴橢圓的右焦點(diǎn)為F（2，0）．
設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)為P（m，n），（m＞0，n＞0）
可得

m2 9 + n2 5 =1 (m-2)2+n2 =2

，解之得m=

3

2

，n=

15

2

，得P坐標(biāo)為（

3

2

，

15

2

），
又∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與橢圓有公共焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P（

3

2

，

15

2

），
∴

( 3 2 )2 a2 - ( 15 2 )2 b2 =1 a2+b2=4

，解之得a=1，b=

3

，
因此，雙曲線的離心率e=

c

a

=2．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線，在已知它們的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的情況下求雙曲線的離心率．著重考查了橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．