考點(diǎn):數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,向量的模
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:建坐標(biāo)系系,可得
=(1,1),
=(1,0),設(shè)
=(x,y),由垂直關(guān)系可得(x-1)
2+(y-
)
2=
,三角換元可得x=1+
cosθ,y=
+
sinθ,由三角函數(shù)的知識(shí)可得|
|=
的最大值,也可用法二幾何意義來求.
解答:
解:由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系,
可得
=(1,1),
=(1,0),設(shè)
=(x,y),
∴
-
=(x-1,y-1),
-
=(x-1,y),
∵(
-
)•(
-
)=0,∴(x-1)
2+y(y-1)=0,
配方變形可得(x-1)
2+(y-
)
2=
,
法一:設(shè)x-1=
cosθ,y-
=
sinθ,
∴x=1+
cosθ,y=
+
sinθ,
∴x
2+y
2=(1+
cosθ)
2+(
+
sinθ)
2=
+cosθ+
sinθ,
由三角函數(shù)的知識(shí)可知cosθ+
sinθ的最大值為
,
∴x
2+y
2=
+cosθ+
sinθ的最大值為
,
∴|
|=
最大值為
法二:由(x-1)
2+(y-
)
2=
可知點(diǎn)(x,y)
為(1,
)為圓心
為半徑的圓上的點(diǎn),
|
|=
表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,
∴所求最大值為原點(diǎn)到(1,
)的距離加上圓的半徑,
∴所求的最大為
+
=
故答案為:
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的夾角,涉及向量的模長(zhǎng)公式以及三角換元的應(yīng)用,建系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.