已知
a
,
b
c
,滿足|
a
|=1,|
b
|=
2
,
a
,
b
夾角為
π
4
,(
c
-
b
)•(
c
-
a
)=0,則|
c
|的最大值為
 
考點(diǎn):數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,向量的模
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:建坐標(biāo)系系,可得
b
=(1,1),
a
=(1,0),設(shè)
c
=(x,y),由垂直關(guān)系可得(x-1)2+(y-
1
2
2=
1
4
,三角換元可得x=1+
1
2
cosθ,y=
1
2
+
1
2
sinθ,由三角函數(shù)的知識(shí)可得|
c
|=
x2+y2
的最大值,也可用法二幾何意義來求.
解答: 解:由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系,
可得
b
=(1,1),
a
=(1,0),設(shè)
c
=(x,y),
c
-
b
=(x-1,y-1),
c
-
a
=(x-1,y),
∵(
c
-
b
)•(
c
-
a
)=0,∴(x-1)2+y(y-1)=0,
配方變形可得(x-1)2+(y-
1
2
2=
1
4
,
法一:設(shè)x-1=
1
2
cosθ,y-
1
2
=
1
2
sinθ,
∴x=1+
1
2
cosθ,y=
1
2
+
1
2
sinθ,
∴x2+y2=(1+
1
2
cosθ)2+(
1
2
+
1
2
sinθ)2=
3
2
+cosθ+
1
2
sinθ,
由三角函數(shù)的知識(shí)可知cosθ+
1
2
sinθ的最大值為
5
2

∴x2+y2=
3
2
+cosθ+
1
2
sinθ的最大值為
3+
5
2
,
∴|
c
|=
x2+y2
最大值為
5
+1
2

法二:由(x-1)2+(y-
1
2
2=
1
4
可知點(diǎn)(x,y)
為(1,
1
2
)為圓心
1
2
為半徑的圓上的點(diǎn),
|
c
|=
x2+y2
表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,
∴所求最大值為原點(diǎn)到(1,
1
2
)的距離加上圓的半徑,
∴所求的最大為
1
2
+
12+(
1
2
)2
=
5
+1
2

故答案為:
5
+1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的夾角,涉及向量的模長(zhǎng)公式以及三角換元的應(yīng)用,建系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|x<2
3
}
,a=2,則下列關(guān)系正確的是(  )
A、a?AB、{a}∈A
C、a∈AD、a∉A

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列各圖中,表示以x為自變量的函數(shù)的圖象是( 。
A、
B、
C、
D、

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=a|x|(a>0,x∈R)的值域是區(qū)間(0,1],則f(-2)與f(1)的大小關(guān)系是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合A是函數(shù)f(x)=
x+1
+lg(3-x)的定義域,集合B是函g(x)=2x+1的值域.
(Ⅰ)求集A∩B;
(Ⅱ)設(shè)集合C={x|x<a},若集合A∩C=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2
ax-1
+3(a>0且a≠1),若f(1)=4,則f(-1)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}中,若a3a5a7=(-
3
)3
,則a2a8=(  )
A、3B、-3C、9D、-9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(3a-1)x+4a,(x<1)
logax,(x≥1)
(a∈R)
(1)作出a=
1
2
時(shí)函數(shù)f(x)的圖象;
(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,E是AB邊的中點(diǎn),F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn),對(duì)角線AC分別交DE、DF于M、N兩點(diǎn),將△DAE及△DCF折起,使A、C重合于G點(diǎn),構(gòu)成如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)求證:GD⊥EF;
(Ⅱ)若EF∥平面GMN,求三棱錐G-EFD的體積VG-EFD

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案