Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過的左焦點(diǎn)的直線，直線被圓：截得的弦長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)的右焦點(diǎn)為，在圓上是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在點(diǎn)，滿足．

【解析】試題分析：（1）直線與軸的交點(diǎn)為的左焦點(diǎn)，所以，再根據(jù)離心率得，即得，（2）先由條件確定點(diǎn)軌跡，為一個(gè)圓，再根據(jù)兩圓位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)橹本�的方程為： ，

令，得，即．

，又，

， ，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）∵圓心到直線： 的距離為，

又直線： 被圓： 截得的弦長為，

∴由垂徑定理得，

故圓的方程為： ．

設(shè)圓上存在點(diǎn)，滿足，即，

且的坐標(biāo)為，則，

整理得，它表示圓心在，半徑是的圓．

，

故有，即圓與圓沒有公共點(diǎn)．

∴圓上不存在點(diǎn)，滿足．