Question

19．已知F₂為橢圓mx²+y²=4m（0＜m＜1）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，且|PA|-|PF₂|的最小值為$-\frac{4}{3}$，則m=$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由橢圓的定義和三點(diǎn)共線取得最小值，可得$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$，橢圓mx²+y²=4m可化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$，∴a=2，c=$\sqrt{4-4m}$，進(jìn)而得到關(guān)于m的方程，解方程可得m的值．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₂|=2a-|PF₁|，
則|PA|-|PF₂|=|PA|-（2a-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-2a，
≥|AF₁|-2a=$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a，
當(dāng)A，P，F(xiàn)₁共線時(shí)，|PA|+|PF₁|取得最小值$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a，
∵|PA|-|PF₂|的最小值為$-\frac{4}{3}$，∴$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$，
橢圓mx²+y²=4m可化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$，∴a=2，c=$\sqrt{4-4m}$，
∴$\sqrt{8-4m}$=$\frac{8}{3}$，
∴m=$\frac{2}{9}$．
故答案為：$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程與性質(zhì)，注意運(yùn)用橢圓的定義和三點(diǎn)共線取得最小值是關(guān)鍵．