Question

為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個(gè)溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團(tuán)組織“這個(gè)冬天不再冷”冬衣募捐活動(dòng)，共有50名志愿者參與．志愿者的工作內(nèi)容有兩項(xiàng)：①到各班做宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻(xiàn)冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物．每位志愿者根據(jù)自身實(shí)際情況，只參與其中的某一項(xiàng)工作．相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

到班級(jí)宣傳	整理、打包衣物	總計(jì)
20人	30人	50人

（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從參與兩項(xiàng)工作的志愿者中抽取5人，再從這5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級(jí)宣傳的志愿者”的概率是多少？
（Ⅱ）若參與班級(jí)宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用X表示所選志愿者中的女生人數(shù)，寫出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法得參與到班級(jí)宣傳的志愿者被抽中的有2人，參與整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是參與班級(jí)宣傳的志愿者的概率．
（Ⅱ）女生志愿者人數(shù)X=0，1，2，分別求出其概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： （Ⅰ）解：用分層抽樣方法，每個(gè)人抽中的概率是

5

50

=

1

10

，
∴參與到班級(jí)宣傳的志愿者被抽中的有20×

1

10

=2人，
參與整理、打包衣物者被抽中的有30×

1

10

=3人，
故“至少有1人是參與班級(jí)宣傳的志愿者”的概率為：P=1-

C 2 3

C 2 5

=

7

10

．
（Ⅱ）解：女生志愿者人數(shù)X=0，1，2，
則P(X=0)=

C 2 12

C 2 20

=

33

95

，
P(X=1)=

C 1 12 C 1 8

C 2 20

=

48

95

，
P(X=2)=

C 2 8

C 2 20

=

14

95

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	33 95	48 95	14 95

∴X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

33

93

+1×

48

95

+2×

14

95

=

76

95

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．