Question

定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數(shù)”為 （n∈N*）．
（1）若數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為 ，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=2．若T_n為{b_n}前n項(xiàng)的倒平均數(shù)，求 ；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x²+4x，對(duì)（1）中的數(shù)列{a_n}，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤ 對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)λ；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
由題意， ，
所以 ．  
所以a₁=S₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n﹣S_n﹣1=4n+2，而a₁也滿足此式．
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n+2．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， ，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ．  
所以 ．   
所以  ． 
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x） 對(duì)任意n∈N*恒成立，
則﹣x²+4x≤ 對(duì)任意n∈N*恒成立，
令 ，因?yàn)?IMG style="WIDTH: 218px; HEIGHT: 38px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120920/201209201006518103722.png"> ，
所以數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，
所以只要﹣x²+4x≤c₁，即x²﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的實(shí)數(shù)λ=1，
使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x） 對(duì)任意n∈N*恒成立．