Question

某同學(xué)對函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實(shí)數(shù)x，f（x）＞0均成立；
③函數(shù)[a，b]的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號是（　�。�

• A、①②④
• B、①②③④
• C、①②④⑤
• D、①②③④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：轉(zhuǎn)化思想,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)可得①正確．根據(jù)|cosx|≤1，可得②正確．根據(jù)當(dāng)x=kπ+

π

2

，k∈z 時(shí)，
函數(shù)f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，可得③不正確．根據(jù)當(dāng) x=2kπ，k∈z 時(shí)，方程xcosx=x 成立，
可得④正確．根據(jù)方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解為 x=0，可得⑤正確．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①正確．
由于|cosx|≤1，故|f（x）|≤|x|，∴f（x）≤|x|成立，故②正確．
由于當(dāng)x=kπ+

π

2

，k∈z 時(shí)，函數(shù)f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮
多個(gè)公共點(diǎn)，但任意相鄰兩個(gè)公共點(diǎn)的距離不一定相等，如相鄰的公共點(diǎn)（0，0）、
（

π

2

，0）、（

3π

2

，0），顯然不滿足③，故③不正確．
由于方程xcosx=x 即cosx=1，故  x=2kπ，k∈z，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，且等于2π，故④正確．
由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解為 x=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評：本題考查余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．