圖1是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，MN和PB是兩條面對(duì)角線(xiàn)，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方體中將MN和PB畫(huà)出來(lái)，并就這個(gè)正方體解決下列問(wèn)題

（1） 求證：MN//平面PBD； （2）求證：AQ平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值。
（1）只需證MN//BD；（2）只需證，。（3）。

試題分析：畫(huà)出MN和PB如圖所示

（1） 證明：在正方體ABCD-PMQN中
  MN//BD  MN//平面PBD     
（2）證明：在正方體ABCD-PMQN中

   

同理可證 ：  
        
（3）解： 建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1
則 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0)
由知平面PBD的一個(gè)法向量是
平面MBD的一個(gè)法向量是

 二面角P-DB-M的余弦值為 .
點(diǎn)評(píng)：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點(diǎn)，而用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在以為球心的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑,若三棱錐的體積為，則球的表面積為       .

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某四面體的三視圖都為直角三角形，如圖所示，則該四面體的體積是（    ）
A．B．C．D．

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下圖是兩個(gè)全等的正三角形.給定下列三個(gè)命題:①存在四 棱錐，其正視圖、側(cè)視圖如右圖;②存在三棱錐，其正視圖、側(cè)視圖如右圖;③存在圓錐，其正視圖、側(cè)視圖如右圖.其中 真命題的個(gè)數(shù)是
A．3B．2C．1D．O

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如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分點(diǎn)，G、H是 CD的三等分點(diǎn)，M、N分別是BC、EH的中點(diǎn)，則四棱錐A1 -FMGN的 側(cè)視圖為

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已知點(diǎn)到平面的距離分別為和，當(dāng)線(xiàn)段ＡＢ與平面相交時(shí)，線(xiàn)段的中點(diǎn)到平面的距離等于_________________．

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下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．空間三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面B．兩個(gè)平面一定將空間分成四部分
C．梯形一定是平面圖形D．兩個(gè)平面有不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)交點(diǎn)

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在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體封閉的盒內(nèi)，有一個(gè)半徑等于1的小球，若小球在盒內(nèi)任意地運(yùn)動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積為_(kāi)_____________

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如圖所示，M是正方體的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
（1）過(guò)M有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)AB，B1C1都相交；
（2）過(guò)M有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)AB，B1C1都垂直；
（3）過(guò)M有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)AB，B1C1都相交；
（4）過(guò)M有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)AB，B1C1都平行.
其中正確的是                     ．
（請(qǐng)?zhí)钊胄蛱?hào)）

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