Question

線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，離心率為的雙曲線C₂以A，B為焦點．若P是圓C₁與雙曲線C₂的一個公共點，則|PA|+|PB|=（ ）
A．
B．4
C．4
D．6

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)知雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2，雙曲線的實半軸a=，由P是圓C₁與雙曲線C₂的公共點，知||PA|-|PB||=2，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．
解答：解：∵圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的半徑r==，
線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，
離心率為的雙曲線C₂以A，B為焦點，
∴雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2，
∵P是圓C₁與雙曲線C₂的一個公共點，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=，e==，
∴a=，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6．
故選D．
點評：本題考查|PA|+|PB|的值的求法，具體涉及到圓的簡單性質(zhì)，雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．