Question

19．某廠家擬在“五一”節(jié)舉行大型促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品銷售價格x（單位：元/件）與每日銷售量y（單位：萬件）滿足關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{a}{x-2}$+2（x-5）²，其中2＜x＜5，a為常數(shù)，已知銷售價格為3元時，每日銷售量10萬件．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成本為2元/件，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

分析 （1）由f（3）=10代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；
（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對應(yīng)的x值．

解答 解：（1）因?yàn)閤=3時，y=10，所以a+8=10，故a=2；
（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-2}$+2（x-2）²，
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f（x）=（x-2）[$\frac{2}{x-2}$+2（x-5）²]=2+2（x-2）（x-5）²，
從而，f′（x）=6（x-5）（x-3），
于是，當(dāng)x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（2，3）	3	（3，5）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值10	單調(diào)遞減

由上表可得，x=3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，5）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
所以，當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于10，
答：當(dāng)銷售價格為3元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

點(diǎn)評 本題函數(shù)解析式的建立比較容易，考查的重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，屬于中檔題．