【題目】已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P(﹣2,4),若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)圓心為M(m,0)(m∈Z).
由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,
所以 ,
即|4m﹣29|=25.因?yàn)閙為整數(shù),故m=1.
故所求圓的方程為(x﹣1)2+y2=25.
(Ⅱ)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,
代入圓的方程,消去y,
整理,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,
由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點(diǎn),
故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,
即12a2﹣5a>0,
由于a>0,解得a> ,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).
(Ⅲ)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,
則直線l的斜率為 ,
l的方程為 ,
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB,故圓心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2﹣4a=0,解得 .
由于 ,故存在實(shí)數(shù)
使得過點(diǎn)P(﹣2,4)的直線l垂直平分弦AB.
【解析】(Ⅰ)設(shè)圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以 ,由此能求了圓的方程.(Ⅱ)把直線ax﹣y+5=0代入圓的方程,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點(diǎn),故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(Ⅲ)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,則直線l的斜率為 ,l的方程為 ,由于l垂直平分弦AB,故圓心M(1,0)必在l上,由此推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù) 使得過點(diǎn)P(﹣2,4)的直線l垂直平分弦AB.
【考點(diǎn)精析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線c1:y2=2px(p>0)與曲線c2:(x﹣6)2+y2=36只有三個(gè)公共點(diǎn)O,M,N,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),且 =0.
(1)求曲線c1的方程;
(2)過定點(diǎn)M(3,2)的直線l與曲線c1交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).
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【題目】知函數(shù)f(x)= (a>1),求:
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)證明f(x)是R上的增函數(shù);
(3)求該函數(shù)的值域.
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(0)=0,②f(x)+f(1﹣x)=1,③f( )= f(x)且當(dāng)0≤x1<x2≤1時(shí),f(x1)≤f(x2),則f( )+f( )等于( )
A.1
B.
C.
D.
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【題目】設(shè)函數(shù)g(x)=3x , h(x)=9x .
(1)解方程:h(x)﹣8g(x)﹣h(1)=0;
(2)令p(x)= ,求值:p( )+p( )+…+p( )+p( ).
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【題目】下列說法正確的是( )
A.經(jīng)過空間內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面
B.如果直線l上有一個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),那么直線上所有點(diǎn)都不在平面α內(nèi)
C.四棱錐的四個(gè)側(cè)面可能都是直角三角形
D.用一個(gè)平面截棱錐,得到的幾何體一定是一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái)
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【題目】某校為了解高一學(xué)生周末的“閱讀時(shí)間”,從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査,獲得了每人的周末“閱讀時(shí)間”(單位:小時(shí)),按照分成組,制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示:
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù);
(Ⅲ)用樣本頻率代替概率. 現(xiàn)從全校高一年級(jí)隨機(jī)抽取名學(xué)生,其中有名學(xué)生“閱讀時(shí)間”在小時(shí)內(nèi)的概率為,其中.當(dāng)取最大時(shí),求的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (x∈R),如圖是函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象,
(1)求a的值,并補(bǔ)充作出函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的圖象,說明作圖的理由;
(2)根據(jù)圖象指出(不必證明)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域;
(3)若方程f(x)=lnb恰有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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【題目】某高新技術(shù)公司要生產(chǎn)一批新研發(fā)的款手機(jī)和款手機(jī),生產(chǎn)一臺(tái)款手機(jī)需要甲材料,乙材料,并且需要花費(fèi)1天時(shí)間,生產(chǎn)一臺(tái)款手機(jī)需要甲材料,乙材料,也需要1天時(shí)間,已知生產(chǎn)一臺(tái)款手機(jī)利潤(rùn)是1000元,生產(chǎn)一臺(tái)款手機(jī)的利潤(rùn)是2000元,公司目前有甲、乙材料各,則在不超過120天的情況下,公司生產(chǎn)兩款手機(jī)的最大利潤(rùn)是__________元.
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