Question

【題目】已知正項數(shù)列的前項和為，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍；

（3）若，從數(shù)列中抽出部分項（奇數(shù)項與偶數(shù)項均不少于兩項），將抽出的項按照某一順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列.當?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)最大時，求所有滿足條件的等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.

【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項公式.

（2）由（1）求得的表達式，然后利用裂項求和法求得的前項和.利用差比較法證得數(shù)列遞增，進而求得的取值范圍.

（3）先判斷出數(shù)列的奇數(shù)項均為奇數(shù)，偶數(shù)項均為偶數(shù).然后假設抽出的數(shù)列中有三個偶數(shù)，推出矛盾，由此證得偶數(shù)只有兩項.進而證得奇數(shù)最多有項.由此求得所有滿足條件的等差數(shù)列.

（1）當時，由，得，得，

由，得，兩式相減，得

，即，即

因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，所以

所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.

因此，，即數(shù)列的通項公式為.

（2）由（1）知，所以

所以

所以

令，則

所以是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列遞增，

所以，又，所以的取值范圍為.

（3）

設奇數(shù)項取了項，偶數(shù)項取了項，其中，，，.

因為數(shù)列的奇數(shù)項均為奇數(shù)，偶數(shù)項均為偶數(shù)，因此，若抽出的項按照某種順序構(gòu)成等差數(shù)列，則該數(shù)列中相鄰的項必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù).

假設抽出的數(shù)列中有三個偶數(shù)，則每兩個相鄰偶數(shù)的等差中項為奇數(shù).

設抽出的三個偶數(shù)從小到大依次為，，，

則為奇數(shù)，而，，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以.

又為奇數(shù)，而，，則與均為偶數(shù)，矛盾。

又因為，所以，即偶數(shù)只有兩項，

則奇數(shù)最多有項，即的最大值為.

設此等差數(shù)列為，，，，，則，，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，且.

由，得，，此數(shù)列為，，，，.

同理，若從大到小排列，此數(shù)列為，，，，.

綜上，當?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)最大時，滿足條件的數(shù)列為，，，，和，，，，.