Question

如圖：已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，連接AM、AN、MN．
（1）求證：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

（1）證明：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為3的正方形，PA⊥面ABCD，
所以AP⊥AD⊥AB．如圖，
分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=t
則
得，．
∴=0，所以AB⊥MN；
（2）解：由，得，
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一個(gè)法向量為
設(shè)平面AMN的法向量，又，
由得：，取y=-2，得x=1，z=．
所以平面AMN的一個(gè)法向量是，
設(shè)二面角N-AM-B為α，則=．
所以二面角N-AM-B的余弦值為．
分析：（1）四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP兩兩互相垂直，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出AP長(zhǎng)度，則可得到圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量，由它們的數(shù)量積等于0證得AB⊥MN；
（2）利用MN=5，求出AP的長(zhǎng)度，分別求出平面AMB和平面AMN的一個(gè)法向量，利用兩個(gè)平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求二面角的大小，利用空間向量求二面角的大小時(shí)，關(guān)鍵是分清兩個(gè)平面的法向量所成的角與二面角的關(guān)系，此題是中檔題．