Question

【題目】某大型超市抽查了100天該超市的日純利潤數(shù)據(jù)，并將日純利潤數(shù)據(jù)分成以下幾組（單位：萬元）：，，，，，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

組別
頻數(shù)	5	20	30	30	10	5

以上述樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，解決下列問題：

（1）從該大型超市近幾年的銷售記錄中抽出5天，求其中日純利潤在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)不少于2的概率；

（2）該超市經(jīng)理由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該大型超市每天的純利潤服從正態(tài)分布，其中，近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）.

①試?yán)�用該正態(tài)分布，估計(jì)該大型超市1000天內(nèi)日純利潤在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（精確到個(gè)位）；

②該大型超市負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的純利潤給超市員工制定了兩種不同的獎(jiǎng)勵(lì)方案：

方案一：直接發(fā)放獎(jiǎng)金，日純利潤低于時(shí)每名員工發(fā)放獎(jiǎng)金70元，日純利潤不低于時(shí)每名員工發(fā)放獎(jiǎng)金90元；

方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中日純利潤不低于時(shí)每位員工均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會，日純利潤低于時(shí)每位員工只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會；每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對應(yīng)的概率分別為

金額	50元	100元
概率

小張恰好為該大型超市的一名員工，則從數(shù)學(xué)期望的角度看，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案更有利？

參考數(shù)據(jù)：若，則，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②獎(jiǎng)勵(lì)方案二.

【解析】

（1）由頻數(shù)分布表可知，日純利潤在區(qū)間內(nèi)的頻率為，基于“用樣本頻率估計(jì)總體分布的概率”的思想，可知日純利潤在區(qū)間內(nèi)的頻率為，記其中日純利潤不低于5萬元且低于7萬元的天數(shù)為，則，基于二項(xiàng)分布的性質(zhì)即可求解；

（2）①基于正態(tài)分布的原則及其性質(zhì)即可求解；

②首先計(jì)算方案一的數(shù)學(xué)期望，其次針對方案二，列出隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算出方案二的數(shù)學(xué)期望，比較兩方案的結(jié)果，判斷出選擇方案二更有利.

（1）由頻數(shù)分布表可知，日純利潤在區(qū)間內(nèi)的頻率為，

記其中日純利潤不低于5萬元且低于7萬元的天數(shù)為，則.

所求的概率.

（2）①，.又，

.

故該大型超市1000天內(nèi)日純利潤在區(qū)間的天數(shù)為.

②易知.

對于獎(jiǎng)勵(lì)方案一：設(shè)小張每日獎(jiǎng)金金額為，則的可能取值為70，90，其對應(yīng)的概率均為，故.

對于獎(jiǎng)勵(lì)方案二：設(shè)小張每日獎(jiǎng)金金額為，則的所有可能取值為50，100，150，200.

；

；

；

.

的分布列為

	50	100	150	200

.，

從數(shù)學(xué)期望的角度看，小張選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案二更有利.