Question

已知P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上一點，A₁，A₂分別為雙曲線的左、右頂點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為e，有下列命題：①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為

2ab

a2+b2

；
②若|PF₁|=e|PF₂|，則e的最大值為

2

；③△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a；④若直線PF₁的斜率為k，則e²-k²＞1，其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：求出準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段的端點的縱坐標(biāo)，即可得到此準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段
長度為

2ab

a2+b2

，故①正確．
由雙曲線的定義可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，根據(jù)|PF₂|=

2a2

c-a

≥c-a，求得1＜

c

a

≤1+

2

，故②不正確．
由雙曲線的定義及圓的切線性質(zhì)可得|KF₁|=a+c，故△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，故③正確．
由題意可得k＜

b

a

，故e²-k²＞1，故④正確．

解答：解：對于①，一準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，它的兩條漸近線方程為 y=±

b

a

x，
故準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段的端點的縱坐標(biāo)分別為 ±

ab

c

=±

ab

a2+b2

，
故此線段的長度為

2ab

a2+b2

，故①正確．
對于②，若|PF₁|=e|PF₂|，則由雙曲線的定義可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，e＞1．
∴|PF₂|=

2a

-a+c a

=

2a2

c-a

≥c-a，∴e²-2e-1≤0，
∴1-

2

≤

c

a

≤1+

2

，故有 1＜e≤1+

2

，即離心率的最大值為1+

2

，故②不正確．
對于③，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓與PF₁和PF₂的切點分別為M，N，與x軸的切點為K，
由雙曲線的定義及圓的切線性質(zhì)可得|MF₁|-|NF₂|=2a=|KF₁|-|KF₂|，
又|KF₁|+|KF₂|=2c，∴|KF₁|=a+c，故K為雙曲線的右頂點，又△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心
在切點K 的正上方，故△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，故③正確．
對于④若直線PF₁的斜率為k，則由題意可得k＜

b

a

，∴k²＜

c2-a2

a2

，∴e²-k²＞1，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．