Question

【題目】若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之和為4.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；

（2）記（1）得到的軌跡為曲線，問曲線上關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；作圖見解析；（2）答案不唯一，具體見解析.

【解析】

（1）設(shè)，由題意，分類討論，可得點(diǎn)的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；

（2）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，注意到曲線關(guān)于軸對(duì)稱，至少存在一對(duì)（關(guān)于軸對(duì)稱的）對(duì)稱點(diǎn)，再研究曲線上關(guān)于對(duì)稱但不關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)即可.

解：（1）設(shè)，由題意

①：當(dāng)時(shí)，有，

化簡得：

②：當(dāng)時(shí)，有，

化簡得：（二次函數(shù)）

綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為（如圖）：

（2）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對(duì)稱點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，注意到曲線關(guān)于軸對(duì)稱，至少存在一對(duì)（關(guān)于軸對(duì)稱的）對(duì)稱點(diǎn).

下面研究曲線上關(guān)于對(duì)稱但不關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，

則，

它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，

由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，

聯(lián)立方程組（*）得

，

化簡得

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組（*）有兩解，

即增加有兩組對(duì)稱點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組（*）只有一組解，

即增加一組對(duì)稱點(diǎn).（注：對(duì)稱點(diǎn)為，）

③

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組（*）有兩解為，，

沒有增加新的對(duì)稱點(diǎn).

綜上所述：記對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)數(shù)為.