Question

8．設F為拋物線y²=4x的焦點，過F的直線l與拋物線交于A、B兩點，若|AB|=8，|AF|＞|BF|，則|AF|的值為4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標和準線方程，設過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，求得$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=1，由|AF|+|BF|=|AB|=8，解方程可得．

解答 解：易知拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準線方程為x=-1．
設過F點直線方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程，得k²（x-1）²=4x．
化簡后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=1，
根據(jù)拋物線定義可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
即有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}{（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1，
由|AF|+|BF|=|AB|=8，
且|AF|＞|BF|，可得|AF|=4+2$\sqrt{2}$，
故答案為：4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查拋物線的應用和拋物線定義，對于過拋物線焦點的直線與拋物線關系，常用拋物線的定義來解決，考查運算能力，屬于中檔題．