9.過球O表面上一點A引三條長度相等的弦AB,AC,AD,且兩兩夾角都為60°,若球半徑為3,則弦AB的長度為2$\sqrt{6}$.

分析 可設(shè)棱長為x、列出方程求解.關(guān)鍵就是確定出球心的位置.

解答 解:如圖,在正四面體ABCD中、作AO1⊥底面BCD于O1,則O1為△BCD的中心.
∵OA=OB=OC=OD=3,
∴球心O在底面的射影也是O1,于是A、O、O1三點共線.
設(shè)正四面體ABCD的棱長為x,
則AB=x,BO1=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$,AO1=$\frac{\sqrt{6}}{3}x$,
∵OO1=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{2}}$
又OO1=AO1-AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}x-R$
由此解得x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}R=2\sqrt{6}$,
故正四面體ABCD的棱長,即弦AB的長度為2$\sqrt{6}$.
故答案為$2\sqrt{6}$.

點評 本題主要考查①一個多面體的所有頂點在一個球面上,則稱這個多面體內(nèi)接于一個球,這個球也叫做多面體的外接球;②有關(guān)外接球的問題常常利用它的軸截面來解決.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知函數(shù)$f(x)=sinx-\frac{1}{2}x$,x∈[0,π].那么下列命題中所有真命題的序號是①④.
①f(x)的最大值是$f(\frac{π}{3})$
②f(x)的最小值是$f(\frac{π}{3})$
③f(x)在$[0,\frac{π}{3}]$上是減函數(shù)        
④f(x)在$[\frac{π}{3},π]$上是減函數(shù).

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20.正四面體相鄰兩個面所成的二面角的大小為$arccos\frac{1}{3}$.

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17.如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行;數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行;依此類推,則第63行從左至右的第7個數(shù)是2010.

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4.已知f(x)=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x>0時,f(x)>$\frac{x}{x+2}$恒成立;
(3)已知k>0,如果當(dāng)x>0時,f(x)>$\frac{kx}{{e}^{x}+1}$恒成立,求k的最大值.

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14.已知函數(shù)f(x)=x2ex,則f(x)的極大值為$\frac{4}{{e}^{2}}$,若f(x)在[t,t+1]上不單調(diào),則t的取值范圍是(-3,-2)∪(-1,0).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.如圖,過原點斜率為k的直線與曲線y=lnx交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2
①k的取值范圍是(0,$\frac{1}{e}$).
②$\frac{1}{x_1}$<k<$\frac{1}{x_2}$.
③當(dāng)x∈(x1,x2)時,f(x)=kx-lnx先減后增且恒為負(fù).
以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是( 。
A.B.①②C.①③D.②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.橢圓$\frac{x^2}{25}+{y^2}$=1上一點P到焦點F1的距離等于6,則點P到另一個焦點F2的距離為(  )
A.10B.8C.4D.3

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19.函數(shù)f(x)=4$\sqrt{x}$+$\sqrt{x(x-1)}$的定義域為{x|x=0或x≥1}.

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