一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為6的兩個(gè)全等的等腰直角三角形．

(Ⅰ)請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

(Ⅱ)用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1？如何組拼？試證明你的結(jié)論；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)為E，求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高為CC1＝6，故所求體積是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

　　(Ⅱ)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，其拼法如圖所示．　　　　　　　　　　　　6分

　　證明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形，于是，故所拼圖形成立．　　　　　　8分

　　(Ⅲ)以C為原點(diǎn)，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，

　　∵正方體棱長(zhǎng)為6，則E(0，0，3)，B1(0，6，6)，A(6，6，0)．

　　設(shè)向量n＝(x，y，z)，滿足n⊥，n⊥，

　　于是，解得．　　　　　　　　　　12分

　　取z＝2，得n＝(2，－1，2)．又(0，0，6)，

　　

　　故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為．　　　　　　　14分


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30
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3
+π
18+2
3
+π
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