Question

【題目】已知函數 f（x）=x﹣ln x﹣2．
（Ⅰ）求函數 f （ x）的最小值；
（Ⅱ）如果不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）x∈（0，+∞），f′（x）=1﹣ = ，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．∴當x=1時，函數f（x）取得極小值即最小值，f（1）=1﹣0﹣2=﹣1．

（II）不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立k＜ （x＞1）．

令g（x）= （x＞1）．g′（x）= ，由于x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數f（x）單調遞增．

∵f（1）=﹣1＜0，∴函數f（x）只有一個零點x0，x0﹣lnx0﹣2=0．

又f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，∴x0∈（3，4）．

當x∈（1，x0）時，f（x0）＜0，∴g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；當x∈（x0，+∞）時，f（x0）＞0，∴g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增．∴g（x）min=g（x0）= = =x0∈（3，4），

∴kmax=3

【解析】（I）x∈（0，+∞），f′（x）=1﹣ = ，利用導數研究其單調性即可得出當x=1時，函數f（x）取得極小值即最小值．．（II）不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立k＜ （x＞1）．令g（x）= （x＞1）．利用導數研究其單調性極值即可得出．