Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點P是橢圓上任意一點，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左右焦點，△PF₁F₂的面積最大值為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）從圓x²+y²=16上一點P向橢圓C引兩條切線，切點分別為A，B，當直線AB分別與x軸、y軸交于M、N兩點時，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{1}{2}×2cb$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得即可得出．
（2）設點P（x₀，y₀）為圓x²+y²=16上一點，PA，PB為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切線，切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得弦AB所在直線方程為$\frac{x{x}_{0}}{4}+y{y}_{0}$=1．可得M$（0，\frac{1}{{y}_{0}}）$，N$（\frac{4}{{x}_{0}}，0）$，于是|MN|²=$\frac{16}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$=$（\frac{16}{{x}_{0}^{2}}+\frac{1}{{y}_{0}^{2}}）$×$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}{16}$=$\frac{1}{16}（\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}+\frac{16{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}}+17）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{1}{2}×2cb$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1．
∴橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設點P（x₀，y₀）為圓x²+y²=16上一點，PA，PB為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切線，
切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴弦AB所在直線方程為$\frac{x{x}_{0}}{4}+y{y}_{0}$=1．
∴M$（0，\frac{1}{{y}_{0}}）$，N$（\frac{4}{{x}_{0}}，0）$，
∴|MN|²=$\frac{16}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$=$（\frac{16}{{x}_{0}^{2}}+\frac{1}{{y}_{0}^{2}}）$×$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}{16}$=$\frac{1}{16}（\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}+\frac{16{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}}+17）$≥$\frac{1}{6}（17+2\sqrt{16•\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}×\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}}}）$=$\frac{25}{16}$．
當且僅當${x}_{0}^{2}$=$\frac{64}{5}$，${y}_{0}^{2}$=$\frac{16}{5}$時取等號，
∴|MN|$≥\frac{5}{4}$，|MN|的最小值為$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、橢圓的切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．