Question

【題目】某投資商到一開(kāi)發(fā)區(qū)投資72萬(wàn)元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬(wàn)元，以后每年支出增加4萬(wàn)元，從第一年起每年蔬菜銷(xiāo)售收入50萬(wàn)元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤(rùn)總和（f（n）=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額）．
（1）該廠從第幾年開(kāi)始盈利？
（2）若干年后，投資商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，對(duì)該廠有兩種處理方法：①年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)，以48萬(wàn)元出售該廠；②純利潤(rùn)總和達(dá)到最大時(shí)，以16萬(wàn)元出售該廠，問(wèn)哪種方案更合算？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，第一年共支出12萬(wàn)元，以后每年支出增加4萬(wàn)元，可知每年的支出構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，用g（n）表示前n年的總支出，

∴g（n）=12n+ ×4=2n2+10n（n∈N*）

∵f（n）=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額

∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．

由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18

由n∈N*知，從第三年開(kāi)始盈利．

（2）解：方案①：年平均純利潤(rùn)為 =40﹣2（n+ ）≤16，

當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立．

故方案①共獲利6×16+48=144（萬(wàn)元），此時(shí)n=6．

方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．

當(dāng)n=10時(shí)，[f（n）]max=128．

故方案②共獲利128+16=144（萬(wàn)元）．

比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故選擇方案①更合算

【解析】（1）根據(jù)第一年共支出12萬(wàn)元，以后每年支出增加4萬(wàn)元，可知每年的支出構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故n年的總支出函數(shù)關(guān)系可用數(shù)列的求和公式得到；再根據(jù)f（n）=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額，可得前n年的純利潤(rùn)總和f（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得該廠從第幾年開(kāi)始盈利；（2）對(duì)兩種決策進(jìn)行具體的比較，以數(shù)據(jù)來(lái)確定那一種方案較好．