已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2,記點(diǎn)P的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程;
(2)若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn).無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在x軸上總存在定點(diǎn)M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實(shí)數(shù)m的值.
分析:(1)由條件知,點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支,從而寫出軌跡E的方程即可.
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線的方程代入雙曲線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直關(guān)系即可求得m值,從而解決問題.
解答:解:(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支,
由c=2,2a=2,∴b2=3,故軌跡E的方程為x2-
y2
3
=1(x≥1)

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
k2-3≠0
△>0
x1+x2=
4k2
k2-3
>0
x1x2=
4k2+3
k2-3
>0

精英家教網(wǎng)解得k2>3.
MP
MQ
=(x1-m)(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2
=
(k2+1)(4k2+3)
k2-3
-
4k2(2k2+m)
k2-3
+m2+4k2

=
3-(4m+5)k2
k2-3
+m2
.(7分)
∵M(jìn)P⊥MQ,∴
MP
MQ
=0
,
故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0對(duì)任意的k2>3恒成立,
1-m2=0
m2-4m-5=0
,解得m=-1.
∴當(dāng)m=-1時(shí),MP⊥MQ.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知結(jié)論也成立,
綜上,當(dāng)m=-1時(shí),MP⊥MQ.
點(diǎn)評(píng):本題考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式及雙曲線的性質(zhì)解決具體問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.
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已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1的直線與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為M,N,且|MN|的最小值為6.
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)A,B為橢圓C的長軸頂點(diǎn).當(dāng)|MN|取最小值時(shí),求∠AMB的大。

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已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2,記點(diǎn)P的軌跡為E;
(Ⅰ)求軌跡E的方程;
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn);
①設(shè)點(diǎn)M(m,0),問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得直線l繞點(diǎn)F2無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),都有
MP
MQ
=0
成立?若存在,求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
②過P、Q作直線x=
1
2
的垂線PA、QB,垂足分別為A、B,記λ=
|PA|+|QB|
|AB|
,求λ的取值范圍.

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已知F1(-
2
,0),F(xiàn)2
2
,0),點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2
3
,記點(diǎn)P的軌跡為E
(Ⅰ)求軌跡E的方程;
(Ⅱ)設(shè)軌跡E與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M,N.已知A(0,-1),當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求m的取值范圍.

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