10.由n(n≥2)個不同的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列a1,a2,…an中,若1≤i<j≤n時,aj<ai(即后面的項aj小于前面項ai),則稱ai與aj構(gòu)成一個逆序,一個有窮數(shù)列的全部逆序的總數(shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù).如對于數(shù)列3,2,1,由于在第一項3后面比3小的項有2個,在第二項2后面比2小的項有1個,在第三項1后面比1小的項沒有,因此,數(shù)列3,2,1的逆序數(shù)為2+1+0=3;同理,等比數(shù)列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8}$的逆序數(shù)為4.
(1)計算數(shù)列${a_n}=-2n+19(1≤n≤100,n∈{N^*})$的逆序數(shù);
(2)計算數(shù)列${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{({\frac{1}{3}})^n},n為奇數(shù)\\-\frac{n}{n+1},n為偶數(shù)\end{array}\right.$(1≤n≤k,n∈N*)的逆序數(shù);
(3)已知數(shù)列a1,a2,…an的逆序數(shù)為a,求an,an-1,…a1的逆序數(shù).

分析 (1)由{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,可得逆序數(shù)為99+98+…+1.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,a1>a3>…>a2n-1>0.當(dāng)n為偶數(shù)時:0>a2>a4>…>a2n.可得逆序數(shù).
(3)在數(shù)列a1,a2,…an中,若a1與后面n-1個數(shù)構(gòu)成p1個逆序?qū),則有(n-1)-p1不構(gòu)成逆序?qū),可得在?shù)列an,an-1,…a1中,逆序數(shù)為(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn

解答 解:(1)∵{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,∴逆序數(shù)為$99+98+…+1=\frac{(99+1)×99}{2}=4950$.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,a1>a3>…>a2n-1>0.
當(dāng)n為偶數(shù)時:
$\begin{array}{l}{a_n}-{a_{n-2}}=-\frac{n}{n+1}+\frac{n-2}{n-1}(n≥4)\\=\frac{-2}{{{n^2}-1}}\\=\frac{-2}{(n+1)(n-1)}<0\end{array}$
∴0>a2>a4>…>a2n
當(dāng)k為奇數(shù)時,逆序數(shù)為$(k-1)+(k-3)+…+2+\frac{k-3}{2}+\frac{k-5}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-4k+1}}{8}$;
當(dāng)k為偶數(shù)時,逆序數(shù)為$(k-1)+(k-3)+…+1+\frac{k-2}{2}+\frac{k-4}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-2k}}{8}$.
(3)在數(shù)列a1,a2,…an中,若a1與后面n-1個數(shù)構(gòu)成p1個逆序?qū)Γ?br />則有(n-1)-p1不構(gòu)成逆序?qū),所以在?shù)列an,an-1,…a1中,
逆序數(shù)為$(n-1)-{p_1}+(n-2)-{p_2}+…+(n-n)-{p_n}=\frac{n(n-1)}{2}-a$.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、新定義逆序數(shù),考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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A.$[\frac{1}{2},1]$B.$(\frac{1}{2},1]$C.$(\frac{1}{2},{log_3}2]$D.$[\frac{1}{2},{log_3}2]$

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